【Mathematics】プラトンの正多面体

正多面体は５種類しか存在しないことが知られています。

正多面体とは「全ての面が同一の正多角形で構成されている」ものです。

５種類というのは、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体です。

なぜこの５種類しかないかというのは、計算で導けます。

正n角形の内角の和は180×(n-2)度になるので、

各頂点の内角は180×(n-2)÷n度になります。

その頂点にm個の正n角形が集まる時、その和は×m。そして360度を下回るはずなので、

180×(n-2)÷n×m＜360

という式が成り立ちます。整理すると、

(n-2)×m＜2n

(n-2)(m-2)<4

となり、このn, mを満たす正の数は5つしかない、というわけです。